Tuletis (matemaatika)

Allikas: Vikipeedia

reklama1

Vajab toimetamist.

Funktsiooni tuletis on matemaatilise analüüsi üks põhimõisteid. Funktsiooni tuletis mingil kohal näitab selle funktsiooni väärtuse muutumise kiirust funktsiooni argumendi muutumisel — täpsemalt, funktsiooni tuletis on funktsiooni väärtuse muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile.

Ühe reaalarvulise parameetriga ning reaalarvuliste väärtustega funktsiooni korral on selle funktsiooni tuletiseks mingil kohal selle funktsiooni graafiku puutuja tõus sellel kohal.

Füüsikas on nihke tuletiseks aja järgi hetkkiirus, kiiruse tuletiseks omakorda kiirendus.

Matemaatilise analüüsi eeskujul on tuletise mõistet mitmel viisil üldistatud teistesse matemaatika valdkondadesse. Käesolev artikkel käsitleb põhiliselt reaal- või kompleksmuutuja funktsiooni tuletist matemaatilise analüüsi tähenduses; mõiste tuletis tähenduste kohta teistes matemaatika harudes vaata alajaotust Üldistusi.

Sisukord

1 Määratlus
- 1.1 Tuletis antud kohal
- 1.2 Tuletis kui funktsioon. Kõrgemat järku tuletised
2 Tähistusi
3 Näide
4 Tuletise rakendusi
- 4.1 Matemaatika
- 4.2 Füüsika
5 Üldistusi
- 5.1 Diskreetne matemaatika

[redigeeri] Määratlus

[redigeeri] Tuletis antud kohal

Olgu $\mathbb K$ kõigi reaalarvude või kõigi kompleksarvude hulk, s.t. $\mathbb K \in \{\mathbb R, \mathbb C\}$ . Olgu antud funktsioon $f:D \to \mathbb{K}$ , kus $D\sub\mathbb{K}$ , ning olgu $x \in D$ . Kui leidub (lõplik või lõpmatu) piirväärtus $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ , siis seda nimetatakse funktsiooni $f\,$ tuletiseks kohal $x\,$ ning tähistatakse sümboliga $f'(x)\,$ .

Tavaliselt määratletakse funktsiooni tuletis vaid tema määramispiirkonna sisepunktides, s. t. eeltoodud definitsiooni lisatakse veel eeldus, et $x\,$ on hulga $D\,$ sisepunkt.

Kui funktsioonil $f\,$ on lõplik tuletis kohal $x\,$ , nimetatakse funktsiooni $f\,$ diferentseeruvaks kohal $x\,$ .

[redigeeri] Tuletis kui funktsioon. Kõrgemat järku tuletised

Kui funktsioon $f\,$ on diferentseeruv igas oma määramispiirkonna $D\,$ punktis, öeldakse lihtsalt, et funktsioon $f\,$ on diferentseeruv.

Kui funktsioon $f\,$ on diferentseeruv, saame vaadelda tema tuletist funktsioonina $f': D \to \mathbb{K}$ .

Sellisel juhul saame uurida funktsiooni $f'\,$ tuletiste olemasolu. Funktsiooni $f'\,$ tuletist nimetatakse funktsiooni $f\,$ teist järku tuletiseks ning tähistatakse $f''\,$ . Kui funktsioon $f'\,$ on diferentseeruv ehk funktsioonil $f\,$ on kogu tema määramispiirkonnas olemas lõplik teist järku tuletis, nimetatakse funktsiooni $f\,$ kaks korda diferentseeruvaks.

Samamoodi, kui funktsioon $f''\,$ on diferentseeruv, määratletakse ka funktsiooni $f\,$ kolmandat järku tuletis $f'''\,$ jne. Üldiselt, funktsiooni $f\,$ $n\,$ -ndat järku tuletist kohal $x\,$ , kus $n \in \mathbb N$ , tähistatakse $f^{(n)}(x)\,$ .

[redigeeri] Tähistusi

[redigeeri] Lagrange'i tähistus

Eeltoodud määratluses kasutasime Joseph-Louis Lagrange'i tähistust:

$f'(x)\,$ - funktsiooni $f\,$ tuletis kohal $x\,$

$f''(x)\,$ - teist järku tuletis

$f'''(x)\,$ - kolmandat järku tuletis

$f^{IV}(x)\,$ ehk $f^{(4)}(x)\,$ - neljandat järku tuletis

$f^{(n)}(x)\,$ -

n

-ndat järku tuletis ( $n \in \mathbb N$ )

[redigeeri] Leibnizi tähistus

Kui muutujate $y\,$ ja $x\,$ vahel on seos $y=f(x)\,$ , siis nii funktsiooni $f\,$ tuletisfunktsiooni $f'\,$ kui ka selle väärtust kohal $x\,$ tähistatakse Leibnizi tähistuses $\frac{dy}{dx}$ .

Leibnizi tähistust põhjendab seos $\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$ , kus $\Delta x\,$ on suuruse $x\,$ muut ning $\Delta y = f(x+\Delta x)-f(x)\,$ on vastav suuruse $y\,$ muut — tuletise kui funktsiooni väärtuse muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtuse tähistamiseks asendame selles suhtes kreeka tähe delta lihtsalt talle ladina tähestikus vastava tähega $d\,$ .

Kõrgemat järku tuletise $f^{(n)}(x)\,$ jaoks kasutatakse tähistust $\frac{d^ny}{dx^n}$ .

[redigeeri] Newtoni tähistus

Kui funktsiooni argument tähistab aega (sellisel juhul kasutatakse argumendi tähistamiseks tähe $x\,$ asemel enamasti tähte $t\,$ ), kasutatakse füüsikas sageli ka Newtoni tähistust: kui muutuja $y\,$ sõltuvust ajast $t\,$ kirjeldab seos $y = f(t)\,$ , siis funktsiooni $f\,$ tuletisi tähistatakse

$\dot{y} = f'(t)$

$\ddot{y} = f''(t)$

ja nii edasi.

Kõrgemat järku tuletiste puhul on Newtoni tähistust raske kasutada, sest paljusid täppe on tüütu kirjutada ja kokku lugeda ning puudub üldine tähistus $n$ -ndat järku tuletise jaoks, kuid paljudes füüsikaülesannetes piisab esimest ja teist järku tuletisest.

[redigeeri] Näide

Olgu $y\! = x\!^2$ , sellisel juhul $\Delta y\! = (x\! + \Delta x\!)^2 - x\!^2$ ja

$\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0 }\frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{x^2+2x\Delta x + (\Delta x)^2-x^2 }{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{(2x+\Delta x)\Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}2x+\Delta x=2x$

[redigeeri] Tuletise rakendusi

[redigeeri] Matemaatika

[redigeeri] L'Hospitali reegel

[redigeeri] Taylori valem

Lihtne näide Taylor'i teoreemist on eksponentfunktsiooni $e^x\,$ lihtsustamine ligikaudseks x = 0 juures:

$\textrm{e}^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}.$

Teoreemi täpne sõnastus on: kui n ≥ 0 on täisarv ja $f\,$ on funktsioon, mis on n korda pidevalt diferentseeruv suletud intervallil [a, x] ja n + 1 korda diferentseeruv avatud intervallil (a, x), siis

$f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + R_n$

[redigeeri] Funktsiooni uurimine

[redigeeri] Füüsika

Füüsikas kasutatakse tuletist hetkkiiruse leidmiseks liikumisvõrrandist.

Näide: liikugu punkt mingis koordinaatsüsteemis sirgjooneliselt ühtlase kiirendusega võrrandi $x = t 2 + 3$ järgi. Kiiruse leidmiseks ajahetkel $t$ võetakse liikumisvõrrandist aja järgi tuletis:

$\dot{x}=2t$ . Kiirusvõrrandist omakorda tuletise võtmine annab kiiruse muutumise kiiruse ehk kiirenduse (antud juhul konstant 2).

[redigeeri] Üldistusi

[redigeeri] Diskreetne matemaatika

Loogikafunktsiooni tuletis argumendi järgi määrab loogikatingimused, milliste puhul funktsiooni väärtus on tundlik selle argumendi muutuste suhtes (kas otse- või vastandfaasis). $\frac{\partial (f(x_1,x_2,...,x_n))}{\partial x_i}=f(x_1,x_2,...,x_{i-1},0,x_{i+1},...,x_n) \oplus f(x_1,x_2,...,x_{i-1},1,x_{i+1},...,x_n)$

Näide: olgu $f(x_1,x_2,x_3,x_4)=\sum (2,3,6,7,8,9,12,13,15)_1$

$\frac{\partial (f(x_1,x_2,x_3,x_4))}{\partial x_2}=x_1 \lor x_2 x_4 \oplus \bar{x_1} \lor x_2 x_4= \bar{x_1} \bar{x_2} \lor \bar{x_1} \bar{x_4} \lor \bar{x_1} x_2 x_4$

Välja otsitud andmebaasist "http://et.wikipedia.org/wiki/Tuletis_(matemaatika)"

Wikipedia