от Уикипедия, свободната енциклопедия

Уравнението е математически алгебричен израз, по същност равенство, в което има неизвестно х, на което неизвестно х, като му се зададат определени стойности, се получава вярно числово равенство. Според степента, от която е х, уравненията биват линейни (от 1-ва степен), квадратни (от 2-ра степен), кубични (от 3-та степен), биквадратни (от 4-та степен) и т.н. Според друг вид деление съществуват и други видове уравнения. Неизвестното х се нарича още променлива или аргумент. В едно уравнение може да присъства и друга величина, означена условно с буква, която се нарича параметър. Решението на едно уравнение се нарича още корен на уравнението.

[редактиране] Основни свойства на уравнението (произволно)

• Когато към равни изрази прибавим или извадим един и същ израз, отново получаваме равни изрази.
• Когато умножим или разделим два равни израза с едно и също число, получаваме пак равни изрази.
• Когато повдигнем на една и съща степен два равни израза, получаваме равни изрази.

[редактиране] Линейни уравнения ax+b=0

Линейното уравнение ax+b=0 има решение, когато а≠0. Общият вид на решението е следният:

ax + b = 0

ax = − b

x = − b / a

2x + 3 = 0

2x = − 3

x = − 3 / 2

[редактиране] Линейни уравнения от вида ах=0 и 0х=0

Този вид уравнения са частен случай на стандартното линейно уравнение. Разликата е, че тук липсва свободния член b. Общият вид на решението е:

ax = 0

x=0/a, за ∀a x=0 e решение

При вида 0х=0 ∀х е решение, тъй като това следва от правилото, че всяко число умножено по 0 дава резултат 0.

[редактиране] Линейни параметрични уравнения

[редактиране] Модулни линейни уравнения |ax+b|=c, |ax+b|=-c и |ax+b|=0 при a≠0

Предварително трябва да се даде определение на модул или абсолютна стойност, както още е известно това математическо понятие. Модул на число наричаме разстоянието от нулата до образа на числото върху числовата ос. Модул на едно положително число е самото число. Модул на едно отрицателно число е противополжното му число. Модулът на числото 0 е 0. Примери:

| 3 | = 3; | 2 | = 2; | a | = a,a > 0

| − 5 | = 5; | − 2 | = 2; | a | = − a,a < 0

| 0 | = 0

От определението следва, че модулът на всяко число, което е различно от нула е положително число. Тогава |3|=3 и |-3|=3 ⇒ |3|=|-3|. Получихме, че модулите на две противоположни числа са равни.

Да разгледаме два противоположни многочлена: x-a и -(x-a). Числените им стойности за равни стойности на променливите, ще са противоположни числа. Тогава можем да запишем, че |x-a|=|-(x-a)| или |x-a|=|a-x|. Последното равенство се ползва при решавани на математически уравнения, в които се преобразуват изрази под знака на модула. Да разгледаме уравнението |x|=3. От определението за модул знаем, че |3|=3 и |-3|=3. Следователно уравнението се удовлетворява, когато на x даваме стойности 3 и -3, т.е. x=3 и х=-3. Да разгледаме и уравнението |х-10|=3. Чрез аналогични разсъждения съобразяваме, че решението на това уравнение се свежда до решаване на две уравнения: х-10=3 и х-10=-3, откъдето за х, получаваме стойностите 13 и 7. Решението подреждаме така:

|х-10|=3

х-10=3 или х-10=-3

х=10+3 или х=10-3

х=13 или х=7

Броят на решенията на уравнението |ax+b|=c, a≠0 зависи от числото с.

При c>0, уравнението има два корена.

При c=0, уравнението има един корен. Това е уравнение от вида |ax+b|=0, a≠0. Единственото му решение е ax+b=0, x=-b/a.

При c<0, уравнението няма решение, защото модулът е винаги положително число. Това е уравнение от вида |ax+b|=-c, a≠0.

[редактиране] Модулни линейни уравнения с параметър

[редактиране] Квадратни уравнения ax²+bx+c=0

• Основна статия Квадратно уравнение

Посоченият вече вид на квадратното уравнение се нарича общ вид:

 .

Квадратното уравнение е в нормален вид, когато коефициентът пред най-високата степен в него е единица:

 .

От общия вид на уравнението може да се получи еквивалентния му нормален вид чрез разделяне на

Многочленът

ax² + bx + c

се нарича квадратен тричлен. Числата a, b и c се наричат коефициенти на квадратното уравнение. Коефициентът а се нарича коефициент пред най-високата степен или старши коефициент. Коефициентът с се нарича свободен член на уравнението.

Когато някой от коефициентите b или c е равен на нула, квадратното уравнение е непълно. Непълните квадратни уравнения се решават, като лявата им страна се разлага на множители.

За непълното уравнение x² = c имаме

• при с > 0 то има два реални корена
• при с = 0 то има единствен корен х = 0,
• при с < 0 то няма реални корени.

Непълното квадратно уравнение а х² + b x = 0 се решава така:

a х² + b x = x (ax + b) = 0. Оттук х₁ = 0, x₂ = - b/a. В общия случай корените на уравнението се намират така:

.

Числото D = b² − 4ac се нарича дискриминанта на квадратното уравнение ax² + bx + c = 0.

• Ако D > 0, уравнението има два различни реални корена.
• Ако D = 0, двата корена са равни: x = - b/2a.
• Ако D < 0, двата корена са комплексни числа (и уравнението няма реални корени).

Следователно, за да се установи дали дадено квадратно уравнение има реални корени или не, е достатъчно да се пресметне дискриминантата и да се провери нейният знак. Вижда се, че уравнението има реални корени, ако коефициентите а и с са с различни знаци.

[редактиране] Квадратни параметрични уравнения

уравнението(ax+b)(cx+b)

[редактиране] Биквадратни уравнения ах⁴+bx²+c=0

[редактиране] Ирационални уравнения

[редактиране] Показателни уравнения

[редактиране] Показателни хомогенни уравнения

[редактиране] Хомогенни уравнения

[редактиране] Симетрични уравнения